미적분 예제

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ 을 $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$\tan (2 x) \tan (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

$\tan (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.1.2

$\tan (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.2

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

$\tan (2 x)$ 와 $\cot (2 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.2.2

$\tan (2 x) \cot (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.3

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.3.1

$\cot (2 x) \tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.4

$\cot (2 x) \cot (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.4.1

$\cot (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

단계 1.3.1.4.2

$\cot (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

단계 1.3.1.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

단계 1.3.1.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 3

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 3.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 4

$\tan^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (u_{1})$ 를 $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 9

$\tan (u_{1})$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u_{1})$ 이므로, $\sec^{2} (u_{1})$ 의 적분값은 $\tan (u_{1})$ 이 됩니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

단계 11

먼저 $u_{2} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 12

$\cot^{2} (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 14

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cot^{2} (u_{2})$ 를 $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

단계 15

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

단계 16

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

단계 17

$- \cot (u_{2})$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u_{2})$ 이므로, $\csc^{2} (u_{2})$ 의 적분값은 $- \cot (u_{2})$ 이 됩니다.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

단계 18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

간단히 합니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

단계 18.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 18.2.2

$\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.2.4

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

단계 18.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

단계 18.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

단계 18.2.6

$- u_{2} - \cot (u_{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

단계 19

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

단계 19.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 x}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

단계 20.1.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

단계 20.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

단계 20.3

$- x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

단계 20.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

단계 21

항을 다시 정렬합니다.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$