미적분 예제

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

단계 1.2

$\sin^{4} (x)$ 에서 $\sin^{3} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

단계 1.3

분수를 나눕니다.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

단계 1.4

$\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ 을 $\cot^{3} (x)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

단계 1.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

단계 2

$\cot^{3} (x)$ 을 $\cot (x) \cot^{2} (x)$ 로 씁니다.

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cot^{2} (x)$ 를 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

단계 4

먼저 $u = \csc (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \csc (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\csc (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

단계 4.1.2

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$- \csc (x) \cot (x)$

단계 4.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \cot (x) \csc (x)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

단계 5

$- (- 1 + u^{2})$ 을 곱합니다.

$\int - - 1 - u^{2} d u$

단계 6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - u^{2} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$u + C + \int - u^{2} d u$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$u + C - \int u^{2} d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$