미적분 예제

$\int \frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{3} (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = \cot (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \csc^{2} (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \cot (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cot (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

단계 1.1.2

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$- \csc^{2} (x)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{- 3} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 가 됩니다.

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$u^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

단계 6.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

단계 6.2

간단히 합니다.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

단계 6.3.2

$\frac{1}{2 u^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $\cot (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 \cot^{2} (x)} + C$