미적분 예제

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} d x$

단계 1

${(x^{2} + 5)}^{3}$ 을 전개합니다.

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단계 1.1

이항정리 이용

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

단계 1.2

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

단계 1.3

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

단계 1.4

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

단계 1.5

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5^{3} d x$

단계 1.6

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot 5^{2} d x$

단계 1.7

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

단계 1.8

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

단계 1.9

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

단계 1.10

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

단계 1.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.12

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.14

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{6} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.15

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 15 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{6} + 15 x^{2 + 2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.17

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.18

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 15 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.19

$15$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

단계 1.20

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 25 \cdot 5 d x$

단계 1.21

$25$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{6} d x + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} x^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

단계 4

$15$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $15$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 \int x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

단계 6

$75$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $75$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 \int x^{2} d x + \int 125 d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 125 d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

단계 9.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

$\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$