미적분 예제

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

단계 1

${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ 와 $\frac{1}{t^{2}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

단계 2

먼저 $u = 1 + \frac{1}{t}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ 이므로 $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 1 + \frac{1}{t}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$1 + \frac{1}{t}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.1.2.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$\frac{1}{t}$ 을 $t^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

단계 2.1.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - t^{- 2}$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

단계 2.1.4.2

$0$ 에서 $\frac{1}{t^{2}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{t^{2}}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - u^{3} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{3} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

단계 5

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ 을 $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $1 + \frac{1}{t}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$