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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.2
미분합니다.
단계 1.2.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.2.4
식을 간단히 합니다.
단계 1.2.4.1
를 에 더합니다.
단계 1.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.4.3
인수를 다시 정렬합니다.
단계 2
단계 2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 2.4
미분합니다.
단계 2.4.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.4.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.4.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 2.4.4
식을 간단히 합니다.
단계 2.4.4.1
를 에 더합니다.
단계 2.4.4.2
에 을 곱합니다.
단계 2.5
를 승 합니다.
단계 2.6
를 승 합니다.
단계 2.7
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.8
를 에 더합니다.
단계 2.9
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.10
에 을 곱합니다.
단계 2.11
간단히 합니다.
단계 2.11.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.11.2
에 을 곱합니다.
단계 2.11.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.11.3.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.11.3.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.11.3.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.11.4
를 에 더합니다.
단계 3
단계 3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3
미분합니다.
단계 3.3.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 3.3.2
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.3.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3.4
에 을 곱합니다.
단계 3.3.5
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 3.3.6
식을 간단히 합니다.
단계 3.3.6.1
를 에 더합니다.
단계 3.3.6.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 3.4
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.4.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 3.4.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.4.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 3.5
미분합니다.
단계 3.5.1
의 왼쪽으로 이동하기
단계 3.5.2
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 3.5.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.5.4
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 3.5.5
식을 간단히 합니다.
단계 3.5.5.1
를 에 더합니다.
단계 3.5.5.2
에 을 곱합니다.
단계 3.6
간단히 합니다.
단계 3.6.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 3.6.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 3.6.3
에 을 곱합니다.
단계 3.6.4
에 을 곱합니다.
단계 3.6.5
에 을 곱합니다.
단계 3.6.6
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.6.6.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.6.6.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.6.6.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.6.7
인수를 다시 정렬합니다.
단계 4
단계 4.1
상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 4.1.1.2
에 을 곱합니다.
단계 4.1.2
항을 더해 식을 간단히 합니다.
단계 4.1.2.1
를 에 더합니다.
단계 4.1.2.2
를 에 더합니다.
단계 4.1.3
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.3
미분합니다.
단계 4.3.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.3.2
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.3.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.3.4
에 을 곱합니다.
단계 4.3.5
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 4.3.6
를 에 더합니다.
단계 4.4
를 승 합니다.
단계 4.5
를 승 합니다.
단계 4.6
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.7
식을 간단히 합니다.
단계 4.7.1
를 에 더합니다.
단계 4.7.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 4.8
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.9
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.9.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 4.9.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.9.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 4.10
미분합니다.
단계 4.10.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.10.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.10.3
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 4.10.4
식을 간단히 합니다.
단계 4.10.4.1
를 에 더합니다.
단계 4.10.4.2
에 을 곱합니다.
단계 4.11
를 승 합니다.
단계 4.12
를 승 합니다.
단계 4.13
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.14
를 에 더합니다.
단계 4.15
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.16
에 을 곱합니다.
단계 4.17
간단히 합니다.
단계 4.17.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 4.17.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 4.17.3.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 4.17.3.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 4.17.3.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 4.17.4
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.1
이항정리 이용
단계 4.17.4.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.2.1
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.2.1.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.2.2
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.2.2.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.2.3
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.2.4
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.2.4.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.2.5
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.2.6
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.2.7
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.2.8
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.2.9
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 4.17.4.4
간단히 합니다.
단계 4.17.4.4.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.4.1.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.4.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.4.1.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.4.2
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.4.3
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.4.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.4.5
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.5
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.5.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.5.1.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.5.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.5.1.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.5.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.5.3
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.5.3.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.5.3.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.5.3.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.5.4
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.5.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.5.5.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.5.5.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.5.5.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.5.6
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.6.1
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.6.2
이항정리 이용
단계 4.17.4.6.3
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.6.3.1
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.1.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.1.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.2
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.2.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.3
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.4
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.6.3.5
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.3.6
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.6.4
분배 법칙을 적용합니다.
단계 4.17.4.6.5
간단히 합니다.
단계 4.17.4.6.5.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.5.1.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.6.5.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.6.5.1.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.6.5.2
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.6.5.3
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.6.5.4
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.6
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.6.6.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.6.1.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.6.6.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.6.6.1.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.6.6.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.6.3
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.6.3.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.6.6.3.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.6.6.3.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.6.6.4
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.7
이항정리 이용
단계 4.17.4.6.8
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.6.8.1
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.1.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.1.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.2
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.2.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.3
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.4
의 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.4.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.4.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.5
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.6.8.6
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.7
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.6.8.8
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.6.8.9
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 4.17.4.7
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.8
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.9
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.10
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.11
첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 를 전개합니다.
단계 4.17.4.12
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.17.4.12.1
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.12.2
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.2.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.12.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.12.2.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.12.3
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.12.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.5.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.12.5.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.12.5.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.12.6
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.7
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.12.8
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.8.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.12.8.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.12.8.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.12.9
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.10
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 4.17.4.12.11
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.11.1
를 옮깁니다.
단계 4.17.4.12.11.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.17.4.12.11.3
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.12.12
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.13
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.14
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.15
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.16
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.17
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.12.18
에 을 곱합니다.
단계 4.17.4.13
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.14
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.15
를 에 더합니다.
단계 4.17.4.16
를 에 더합니다.
단계 4.17.5
를 에 더합니다.
단계 4.17.6
를 에 더합니다.
단계 4.17.7
를 에 더합니다.
단계 4.17.8
를 에 더합니다.
단계 4.17.9
를 에 더합니다.
단계 4.17.10
분배 법칙을 적용합니다.
단계 4.17.11
간단히 합니다.
단계 4.17.11.1
에 을 곱합니다.
단계 4.17.11.2
에 을 곱합니다.
단계 4.17.11.3
에 을 곱합니다.
단계 4.17.11.4
에 을 곱합니다.
단계 4.17.11.5
에 을 곱합니다.
단계 4.17.11.6
에 을 곱합니다.
단계 5
의 에 대한 4차 도함수는 입니다.