미적분 예제

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x e^{3 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.4.3.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

단계 1.4.5

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

단계 1.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

단계 1.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

단계 1.5.4

$6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x e^{3 x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 6 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.8

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = 6 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.2.9

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{3 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 2.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \cdot 3)$

단계 2.3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (3 \cdot e^{3 x})$

단계 2.3.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 6 e^{3 x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 18 (x (e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

단계 2.4.2.2

$6 e^{3 x}$ 를 $6 e^{3 x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$

단계 2.4.4

$18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (18 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x e^{3 x}$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ 입니다.

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.8

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f''' (x) = 18 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.2.9

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 e^{3 x}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 3.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

단계 3.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \cdot 3)$

단계 3.3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (3 \cdot e^{3 x})$

단계 3.3.7

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 36 e^{3 x}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 54 (x (e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

단계 3.4.2.2

$18 e^{3 x}$ 를 $36 e^{3 x}$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

단계 3.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$

단계 3.4.4

$54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (54 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$54$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $54 x e^{3 x}$ 의 미분은 $54 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 54 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.8

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f^{4} (x) = 54 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.2.9

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$54$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $54 e^{3 x}$ 의 미분은 $54 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

단계 4.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 4.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 4.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 4.3.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

단계 4.3.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \cdot 3)$

단계 4.3.6

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (3 \cdot e^{3 x})$

단계 4.3.7

$3$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 162 e^{3 x}$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

단계 4.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$3$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 162 (x (e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

단계 4.4.2.2

$54 e^{3 x}$ 를 $162 e^{3 x}$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

단계 4.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = 162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$

단계 4.4.4

$162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$ 입니다.

$162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$