미적분 예제

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = 7 x^{2} - 1$ , $g (x) = 2 x^{3} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

단계 1.2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

단계 1.2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

단계 1.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

단계 1.2.6

합의 법칙에 의해 $7 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 1.2.7

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 1.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 1.2.9

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 1.2.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

단계 1.2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.11.1

$14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

단계 1.2.11.2

$2 x^{3} + x$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6

항을 묶습니다.

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단계 1.3.6.1

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.6.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.6

$- 6 x^{2}$ 를 $7 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.7

$2$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.10

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

단계 1.3.6.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

단계 1.3.6.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

단계 1.3.6.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

단계 1.3.6.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

단계 1.3.6.15

$42 x^{4}$ 를 $28 x^{4}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

단계 1.3.6.16

$x^{2}$ 를 $14 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$70$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $70 x^{4}$ 의 미분은 $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.2.3

$4$ 에 $70$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{2}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

단계 2.4.2

$280 x^{3} + 30 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $280 x^{3} + 30 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$280$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $280 x^{3}$ 의 미분은 $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

단계 3.2.3

$3$ 에 $280$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [30 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 x$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

단계 3.3.3

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $840 x^{2} + 30$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$840$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $840 x^{2}$ 의 미분은 $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

단계 4.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

단계 4.2.3

$2$ 에 $840$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$30$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $30$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $30$ 입니다.

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

단계 4.3.2

$1680 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 1680 x$