미적분 예제

$y = e^{- x} + e^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $e^{- x} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.2.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 2.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 2.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

단계 2.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

단계 2.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

단계 3.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 3.3.1.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

단계 3.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 3.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 3.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 3.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

단계 4.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 4.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 4.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 4.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 4.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 4.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 4.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

단계 4.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

단계 4.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$