미적분 예제

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x - x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

단계 1.1.1.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

단계 1.1.1.3

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

단계 1.1.1.4

$x \cdot 1 + x (- x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

단계 1.1.1.5

$x$ 에 $1 - x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (1 - x)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

단계 1.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (1 - x)$ 입니다.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.5

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6.1.2

$A (1 - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6.5

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

단계 1.1.6.5.2

$(B) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

단계 1.1.7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = A - x A + B x$

단계 1.1.7.2

$B$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$1 = A - x A + B x$

단계 1.1.7.3

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = - x A + B x + A$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = - 1 A + B$

단계 1.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$0 = - 1 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

단계 1.3.3

$0 = - 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$- 1 + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

단계 1.3.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

단계 1.3.4

연립방정식을 풉니다.

$B = 1 A = 1$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = 1, A = 1$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

단계 1.5

수식에서 0을 제거합니다.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

단계 3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

단계 4

먼저 $u = 1 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 1 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 4.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

단계 5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

단계 7

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

단계 8

간단히 합니다.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

단계 9

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$