미적분 예제

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sec (t)$ 라고 하면 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec (t) \tan (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\sec (t) \tan (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\sec^{3} (t) \tan (t)$ 에서 $\sec (t) \tan (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

단계 2.2.2.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ 을 ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

단계 2.2.2.3

$\sec (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

단계 2.2.2.4

$\frac{1}{\cos (t)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

단계 2.2.2.5

$\cos (t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \cos^{2} (t) d t$

단계 3

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 7

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 7.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$t$ 를 모두 $arcsec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 12.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 12.3

$t$ 를 모두 $arcsec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 arcsec (x))$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

단계 13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

단계 13.3

$\frac{1}{2}$ 와 $arcsec (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

단계 13.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

단계 13.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$