미적분 예제

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 3 \sec (t)$ 라고 하면 $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \sec (t) \tan (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$3 \sec (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.2

$9 \sec^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.4

$9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.6

$9 \tan^{2} (t)$ 을 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 \sec (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.2

$3 (\sec (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.4

$3$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$3 \tan (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$27 \sec^{3} (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.5

$3$ 와 $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

단계 2.2.6

$\sec (t)$ 와 $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

단계 2.2.7

$\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.8

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.9

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.12

$\sec (t)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.13

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.13.1

$3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.13.2.1

$9 \sec^{3} (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

단계 2.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

단계 2.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.14

$\sec (t)$ 및 $\sec^{3} (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.14.1

$\sec (t) \tan^{2} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

단계 2.2.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.14.2.1

$3 \sec^{3} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

단계 2.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

단계 2.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ 을 ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

단계 4.2

$\sec (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

단계 4.3

$\tan (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

단계 4.4

$\frac{1}{\cos (t)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

단계 4.5

$\cos (t)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

단계 4.6

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

단계 4.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

단계 5

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (t)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

단계 7.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

단계 10

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

단계 11

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 14

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$t$ 를 모두 $arcsec (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 16.2

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 16.3

$t$ 를 모두 $arcsec (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

단계 17.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

단계 17.3

$\frac{1}{6}$ 와 $arcsec (\frac{x}{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

단계 17.4

$\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

단계 17.4.2

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$