미적분 예제

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$2 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.7

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.8

${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.8.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.9

$64 \cos^{6} (t)$ 을 ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.10

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 \cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$8 \cos^{3} (t)$ 에서 $2 \cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 \sin (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2.2

$2 (\sin (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2.5

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ 을 $\tan^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\int \tan^{2} (t) d t$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

단계 7

$\tan (t)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (t)$ 이므로, $\sec^{2} (t)$ 의 적분값은 $\tan (t)$ 이 됩니다.

$- t + C + \tan (t) + C$

단계 8

간단히 합니다.

$- t + \tan (t) + C$

단계 9

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$