미적분 예제

$\int \frac{x^{4} + 8}{x^{3}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{4} + 8) {(x^{3})}^{- 1} d x$

단계 1.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{4} + 8) x^{3 \cdot - 1} d x$

단계 1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int (x^{4} + 8) x^{- 3} d x$

단계 2

$(x^{4} + 8) x^{- 3}$ 을 곱합니다.

$\int x^{4} x^{- 3} + 8 x^{- 3} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{- 3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{4 - 3} + 8 x^{- 3} d x$

단계 3.1.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int x^{1} + 8 x^{- 3} d x$

단계 3.2

$x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\int x + 8 x^{- 3} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x d x + \int 8 x^{- 3} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 8 x^{- 3} d x$

단계 6

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 \int x^{- 3} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

단계 8.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

단계 8.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

단계 8.3

간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

단계 8.3.2

$- 8$ 와 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 8}{2 x^{2}} + C$

단계 8.3.3

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.3.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

단계 8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.3.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{2})} + C$

단계 8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

단계 8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 4}{x^{2}} + C$

단계 8.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} + C$