미적분 예제

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

단계 2

$t^{\frac{1}{3}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

단계 3

${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

단계 3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4

$(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4.4

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 4.6.2

$9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 6

$27$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $27$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{8}{3}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ 가 됩니다.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 8

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $t^{- \frac{1}{3}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ 가 됩니다.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$27$ 와 $\frac{3}{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

단계 10.2.2

$27$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$