미적분 예제

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 1.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 1.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

단계 2

$\sec^{4} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{5}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

단계 4.2

${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (u_{1})$ 를 $1 + \tan^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = \tan (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$\tan (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

단계 6.1.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$\sec^{2} (u_{1})$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 11.1

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

단계 11.2

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\tan^{3} (5 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

단계 12.3

$\frac{1}{5}$ 와 $\tan (5 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

단계 12.4

조합합니다.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

단계 12.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.5.1

$\tan^{3} (5 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

단계 12.5.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$