미적분 예제

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\cot^{3} (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

단계 4

소거 공식을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

단계 5

$\cot (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (u) |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

단계 6

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ 을 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\cot^{2} (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$\cot (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

단계 8.3.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

단계 8.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| \sin (2 x) |)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.5.2

조합합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.5.3

$\cos^{2} (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.5.4

$\sin^{2} (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.5.5

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ 을 곱합니다.

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단계 8.5.5.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.5.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.6.1

$1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.6.2

$1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.6.3

분수를 나눕니다.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.6.4

$\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ 을 $\cot^{2} (2 x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.6.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 8.6.6

$\frac{1}{4}$ 와 $\cot^{2} (2 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$