미적분 예제

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 3 x + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 3 x + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3 x + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$3 + 0$

단계 1.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 2

$e^{\sqrt{u_{1}}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ 이므로 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 5

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 6

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7

$w = u_{2}$ 이고 $dv = e^{u_{2}}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 8

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 $\sqrt{u_{1}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $3 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

단계 11.2

$3 x + 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

단계 11.2.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

단계 11.2.3

$3 x + 3 \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

단계 11.3

$3 x + 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

단계 11.3.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

단계 11.3.3

$3 x + 3 \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$3 x + 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4.1.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4.1.3

$3 x + 3 \cdot 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4.2

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.2.1

$\sqrt{3 (x + 3)}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4.2.2

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ 와 $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4.3

$\sqrt{3 (x + 3)}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

단계 11.4.4

$\frac{2}{3}$ 와 $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

단계 11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

단계 11.6

$2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 에서 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

$2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 에서 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

단계 11.6.2

$- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 에서 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

단계 11.6.3

$2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ 에서 $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$