미적분 예제

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

단계 2

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 2.2

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

단계 2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

단계 2.4

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (2 π)$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{upper} = \cos (0)$

단계 2.5.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{2} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u)$

단계 4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- 3 (\frac{u^{3}}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$1$ , $\frac{1}{2}$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

단계 7.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 3 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{3}}{3}$

단계 8.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 3 \frac{1 - \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3}$

단계 8.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{2^{3}}}{3}$

단계 8.2.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{8}}{3}$

단계 8.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- 3 \frac{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}{3}$

단계 8.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 3 \frac{\frac{8 - 1}{8}}{3}$

단계 8.5

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 3 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

단계 8.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.6.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (- 1) \frac{\frac{7}{8}}{3}$

단계 8.6.2

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot - 1 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

단계 8.6.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{7}{8}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{7}{8}$

소수 형태:

$- 0.875$