미적분 예제

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$

단계 1

$e^{4 x}$ 와 $\sin (5 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \sin (5 x) e^{4 x} d x$

단계 2

$u = \sin (5 x)$ 이고 $d v = e^{4 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x$

단계 3

$\frac{1}{4} \cdot 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4} \cdot 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

단계 4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

단계 4.2

$\sin (5 x)$ 와 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

단계 4.3

$\frac{1}{4}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

단계 4.4

$e^{4 x}$ 와 $\cos (5 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int \cos (5 x) e^{4 x} d x)$

단계 5

$u = \cos (5 x)$ 이고 $d v = e^{4 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

단계 6

$\frac{1}{4} \cdot - 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4} \cdot - 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

단계 7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

단계 7.2

$\cos (5 x)$ 와 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

단계 7.3

$\frac{1}{4}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} (\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)))$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

단계 7.5

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4}$ 에 $\frac{5}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

단계 7.6

곱합니다.

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단계 7.6.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} - \frac{5}{4} (- (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x))$

단계 7.6.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + 1 (\frac{5}{4}) (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

단계 7.6.3

$\frac{5}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{5}{4} (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

단계 7.7

$\frac{- 5}{4}$ 에 $\frac{5}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

단계 7.8

곱합니다.

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단계 7.8.1

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

단계 7.8.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x$

단계 8

$\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ 을 풀면 $\int e^{4 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ 입니다.

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) e^{4 x} \cdot 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

단계 9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\cos (5 x) e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cdot (\cos (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

단계 9.1.2

$\frac{41}{16}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.2

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5 \cos (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ 을 $(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$(\frac{1}{4} \sin (5 x) e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (5 x)$ 을 묶습니다.

$(\frac{\sin (5 x)}{4} e^{4 x} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.3.2

$\frac{\sin (5 x)}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{5}{16} \cos (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.3.3

$\cos (5 x)$ 와 $\frac{5}{16}$ 을 묶습니다.

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16} e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.3.4

$e^{4 x}$ 와 $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{16}$ 을 묶습니다.

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.3.5

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$(\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.4.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.2.1

다시 씁니다.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.4.2.2

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.4.2.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(\frac{e^{4 x} \sin (5 x)}{4} - \frac{e^{4 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{16}) \frac{16}{41} + C$

단계 9.4.3

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$(\frac{1}{4} e^{4 x} \sin (5 x) - \frac{5}{16} e^{4 x} \cos (5 x)) \frac{16}{41} + C$