미적분 예제

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

단계 1

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$5$ 를 옮깁니다.

$4 x - x^{2} + 5$

단계 1.1.2

$4 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + 4 x + 5$

단계 1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

단계 1.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

단계 1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

단계 1.4.2.1.2

$\frac{2}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot 2$

단계 1.4.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$d = - 2$

단계 1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

$4^{2}$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1.1

$4^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

단계 1.5.2.1.1.2

$\frac{4}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

단계 1.5.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 5 - - 4$

단계 1.5.2.1.2.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$e = 5 + 4$

단계 1.5.2.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$e = 9$

단계 1.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(x - 2)}^{2} + 9$ 에 대입합니다.

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 2.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

단계 3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u_{1} = 3 \sin (t)$ 라고 하면 $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

단계 4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$3 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.1.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.2

$- 9 \sin^{2} (t)$ 와 $9$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.3

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.4

$- 9 \sin^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.5

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.7

$9 \cos^{2} (t)$ 을 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

단계 4.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 4.2.3

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 4.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 4.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

단계 5

$9$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 11

먼저 $u_{2} = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 12

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 14

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 16.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 16.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 16.4

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

단계 16.5

$u_{1}$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

단계 17.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

단계 17.3

$\frac{9}{2}$ 와 $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

단계 17.4

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.4.1

$\frac{9}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

단계 17.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$