미적분 예제

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

단계 1

먼저 $u = 7 x^{2} + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 14 x d x$ 이므로 $\frac{1}{14} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 7 x^{2} + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$7 x^{2} + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $7 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$14 x + 0$

단계 1.1.4.2

$14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$14 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u^{5}}$ 에 $\frac{1}{14}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

단계 2.2

$u^{5}$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

단계 3

$\frac{1}{14}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{14}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$d$ 와 $\frac{1}{14}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

단계 4.1.2

$x$ 와 $\frac{d}{14}$ 을 묶습니다.

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.2.1

$u^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

단계 4.2.2

${(u^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ 가 됩니다.

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$u^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

단계 6.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

단계 6.2

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ 을 $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{14}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

단계 6.3.2

$\frac{x}{14}$ 와 $d$ 을 묶습니다.

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

단계 6.3.3

$\frac{x d}{14}$ 에 $\frac{1}{4 u^{4}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

단계 6.3.4

$4$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $7 x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$