미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

단계 1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

단계 1.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ 을 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

단계 2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sec^{2} (x)$ 를 $1 + \tan^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

단계 3

먼저 $u = \tan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = \tan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\tan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 3.1.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x)$

단계 3.2

$u = \tan (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \tan (0)$

단계 3.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.4

$u = \tan (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

단계 3.5

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$u_{upper} = \sqrt{3}$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

단계 4

$u^{5} (1 + u^{2})$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$u^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

단계 5.2

지수를 더하여 $u^{5}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

단계 5.2.2

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

단계 9

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ 와 $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$\sqrt{3}$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

${\sqrt{3}}^{6}$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 10.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.1.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.3

$\frac{1}{6}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.4

$27$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.4.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.4.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5

${\sqrt{3}}^{8}$ 을 $3^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.4

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.5.4.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.6

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.7

$\frac{1}{8}$ 와 $81$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{9}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.9

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.9.1

$\frac{9}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.9.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.11.1

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.11.2

$36$ 를 $81$ 에 더합니다.

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.12

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.13

$\frac{1}{6}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

단계 10.2.14

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

단계 10.2.15

$\frac{1}{8}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

단계 10.2.16

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{117}{8} - 0$

단계 10.2.17

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{117}{8} + 0$

단계 10.2.18

$\frac{117}{8}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{117}{8}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{117}{8}$

소수 형태:

$14.625$

대분수 형식:

$14 \frac{5}{8}$