미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{18}} \sin^{5} (9 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 9 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 9 d x$ 이므로 $\frac{1}{9} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 9 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$9 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 x]$

단계 1.1.2

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \cdot 1$

단계 1.1.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9$

단계 1.2

$u_{1} = 9 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 9 \cdot 0$

단계 1.3

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = 9 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{18}$

단계 1.5

$9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$18$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{9 (2)}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 9 \frac{π}{9 \cdot 2}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1}$

단계 2

$\sin^{5} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{9} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{9}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$\sin^{4} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 5.2

${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 7

먼저 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\cos (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

단계 7.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1})$

단계 7.2

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 7.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 7.4

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

단계 7.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 7.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

단계 9

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 을 $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.5

${u_{2}}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.6

${u_{2}}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.11

${u_{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

단계 9.13

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 9.14

$- {u_{2}}^{2}$ 에서 ${u_{2}}^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 9.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ 와 ${u_{2}}^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.16

$1$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{9} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{9} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

단계 11

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{4}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

단계 12

$\frac{1}{5}$ 와 ${u_{2}}^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

단계 13

$- 2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

단계 14

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

단계 15

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

단계 16

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

단계 17

$\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ 와 $u_{2}]_{1}^{0}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

단계 18

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{9} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

단계 18.2

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{9} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.2

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.2.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.2.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{9} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{9} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.7

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{1}{9} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.8

$0$ 에서 $\frac{6}{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.10

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.10.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

단계 18.3.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

단계 18.3.12

$0$ 에서 $\frac{1}{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

단계 18.3.13

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

단계 18.3.14

$2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

단계 18.3.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{6}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

단계 18.3.16

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

단계 18.3.17

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.17.1

$\frac{6}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

단계 18.3.17.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

단계 18.3.17.3

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

단계 18.3.17.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

단계 18.3.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

단계 18.3.19

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.19.1

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

단계 18.3.19.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

단계 18.3.19.3

$- 18$ 를 $10$ 에 더합니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{- 8}{15})$

단계 18.3.20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{9} (- - \frac{8}{15})$

단계 18.3.21

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (1 (\frac{8}{15}))$

단계 18.3.22

$\frac{8}{15}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{8}{15}$

단계 18.3.23

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{8}{15}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{9 \cdot 15}$

단계 18.3.24

$9$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{135}$

단계 19

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{8}{135}$

소수 형태:

$0.0\overline{592}$