미적분 예제

$\int x \cos^{2} (x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \cos^{2} (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} \int \sin (2 x) d x)$

단계 6

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

단계 8.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

단계 9

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

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단계 10.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{2 \cdot 4} (- \cos (u) + C))$

단계 10.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

단계 10.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{8} (- \cos (u) + C))$

단계 10.2

간단히 합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

단계 10.3

간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

단계 10.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{8} (- \cos (u))) + C$

단계 10.3.3

$\frac{1}{8}$ 와 $\cos (u)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) + C$

단계 10.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) \cdot \frac{4}{4} + C$

단계 10.3.5

$- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{4} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

단계 10.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8}) \cdot 4}{4} + C$

단계 10.3.7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{8})}{4} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - 4 \frac{x^{2}}{4} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

단계 12.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) + 4 (- 1) \frac{x^{2}}{4} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

단계 12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) + 4 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{4} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

단계 12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - 4 (- \frac{\cos (2 x)}{8})}{4} + C$

단계 12.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.1

$- \frac{\cos (2 x)}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - 4 \frac{- \cos (2 x)}{8}}{4} + C$

단계 12.3.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 4 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{8}}{4} + C$

단계 12.3.3

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

단계 12.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 4 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{4 \cdot 2}}{4} + C$

단계 12.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - \frac{- \cos (2 x)}{2}}{4} + C$

단계 12.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} - - \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

단계 12.4.2

$- - \frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 12.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + 1 \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

단계 12.4.2.2

$\frac{\cos (2 x)}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (2 x) - x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2}}{4} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} (x \sin (2 x) - x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x)) + C$