미적분 예제

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1} = x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2}$

단계 1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

단계 1.5

${\sqrt[4]{π}}^{2}$ 을 $\sqrt{π}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{π}$ 을(를) $π^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

단계 1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

단계 1.5.3

$\frac{1}{4}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

단계 1.5.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

단계 1.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

단계 1.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

단계 1.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

단계 1.5.5

$π^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{π}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = \sqrt{π}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $u_{1}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

단계 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ 와 $\cos ({u_{1}}^{2})$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

단계 4.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1}$

단계 4.2

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2}$

단계 4.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

단계 4.5

${\sqrt{π}}^{2}$ 을 $π$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{π}$ 을(를) $π^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 4.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 4.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

단계 4.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

단계 4.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π^{1}$

단계 4.5.5

간단히 합니다.

$u_{upper} = π$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

단계 4.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 8

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

단계 9

$π$ , $0$ 일 때, $\sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

단계 10.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

단계 10.3

$\sin (π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \sin (π)$

단계 10.4

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (π)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (π)}{4}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{\sin (0)}{4}$

단계 11.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{4}$

단계 11.2

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$0$