미적분 예제

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

단계 2

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

단계 2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 3

지수를 더하여 $\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

단계 3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

단계 4

소거 공식을 적용합니다.

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t$

단계 5

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

단계 6.2

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 6.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7.2

$\sec (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7.3

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7.4

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7.5

$\sec (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7.6

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

단계 7.7

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

단계 7.8

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.9

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.10

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.11

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.12

$\sqrt{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.13

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.13.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.13.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.14

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.15

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.15.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.15.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.15.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.16

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.17

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

단계 7.18

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |))$

단계 7.19

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.20

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

단계 7.21

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

단계 7.22

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 7.23

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\sqrt{2} \cdot 2$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.23.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 7.23.2

$\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 7.23.3

$\sqrt{2} \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 7.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.1.2

$\sqrt{2} + 1$ 은 약 $2.41421356$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 8.3

$\sqrt{2} + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

소수 형태:

$1.14779357 \dots$

단계 10