미적분 예제

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

단계 1

먼저 $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ 을 $\frac{d}{d x} [x - 1]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.2.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

단계 1.1.2.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 1.1.2.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

단계 1.1.2.1.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

단계 1.1.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.1.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

단계 1.3.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

단계 1.3.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

단계 1.3.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \sqrt{1}$

단계 1.3.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

단계 1.5.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

단계 1.5.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

단계 1.5.4

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = \sqrt{0}$

단계 1.5.5

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

단계 1.5.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{0} u d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

단계 3.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 3.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{2}$

단계 3.2.5

$0$ 에서 $\frac{1}{2}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{2}$

소수 형태:

$- 0.5$

단계 5