미적분 예제

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

단계 1

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = e^{5 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

단계 3.2

$x$ 와 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

단계 3.3

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

단계 4

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

단계 5

먼저 $u = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 5.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 5.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 5.2

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

단계 5.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 5.4

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

단계 5.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 5$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

단계 6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

단계 7

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

단계 8.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

단계 10

$e^{u}]_{0}^{5}$ 와 $\frac{1}{25}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x e^{5 x}}{5}$ 값을 계산합니다.

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

단계 11.2

$5$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.2

$e^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.6

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.6.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.6.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.6.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.7

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.8

$\frac{e^{5}}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

단계 11.3.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

단계 11.3.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

단계 11.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{e^{5}}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

단계 11.3.12

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $25$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 11.3.12.1

$\frac{e^{5}}{5}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

단계 11.3.12.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

단계 11.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

단계 11.3.14

$e^{5}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

단계 11.3.15

$7$ 와 $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

단계 12

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

단계 12.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

단계 12.3

$5 e^{5}$ 에서 $e^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

소수 형태:

$166.50273819 \dots$

단계 14