미적분 예제

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

단계 1

먼저 $u = π x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 \cdot x π d x$ 이므로 $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = π x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$π x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

단계 1.1.2

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x^{2}$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$π (2 x)$

단계 1.1.4

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 π x$

단계 1.1.5

$2 π$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$x (2 π)$

단계 1.1.6

$x$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot x π$

단계 1.2

$u = π x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{lower} = π \cdot 1$

단계 1.3.2

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = π$

단계 1.4

$u = π x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = π \cdot 9$

단계 1.5.2

$π$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$u_{upper} = 9 π$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

단계 2

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{2 π}$ 을 묶습니다.

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

단계 3

$\frac{1}{2 π}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2 π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

단계 4

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

단계 5

$9 π$ , $π$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

단계 6.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

단계 6.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

단계 6.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

단계 6.1.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

단계 6.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

단계 6.1.6

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

단계 6.1.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

단계 6.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

단계 6.3

$\frac{1}{2 π}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$