미적분 예제

$\int \tan^{2} (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\tan^{2} (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (u)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (u)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

단계 7

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

단계 8

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

단계 10.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

단계 10.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

단계 10.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

단계 10.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$