미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

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단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) + 1}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $\sqrt{x + h + 1}$ 입니다.

$\sqrt{x + h + 1}$

단계 2.2

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - (\sqrt{x + 1})}{h}$

단계 4

$- 1$ 에 $\sqrt{x + 1}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.1.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $\sqrt{x + 1}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.3

$\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.1.2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.2.3.2

$\sqrt{x + 1}$ 에서 $\sqrt{x + 1}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 5.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 5.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 5.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3

$\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + h + 1}$ 을(를) ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ , $g (h) = x + h + 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + h + 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.2.3

$u$ 를 모두 $x + h + 1$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.3

합의 법칙에 의해 $x + h + 1$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.4

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.6

$1$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.12

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.13

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.14

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.15

$\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.3.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.4

$- \sqrt{x + 1}$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- \sqrt{x + 1}$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- \sqrt{x + 1}$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.5

$\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 5.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 5.5

${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x + h + 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}} \cdot 1$

단계 5.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$

단계 6.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

단계 6.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

단계 6.4

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1}}$

단계 6.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

단계 6.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

단계 6.7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1}}$

단계 7

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 0 + 1}}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

단계 8.2

$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

단계 8.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 에 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

단계 8.3.2

$\sqrt{x + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

단계 8.3.3

$\sqrt{x + 1}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

단계 8.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

단계 8.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

단계 8.3.6

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 을 $x + 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 8.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

단계 8.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

단계 8.3.6.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

단계 8.4

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2 (x + 1)}$

단계 9