미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 1.1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 1.1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 1.1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 1.1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 1.1.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 1.1.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.1.8

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.1.2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.1.2.2.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 1.1.2.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

단계 1.1.2.3

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

단계 1.1.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.1.2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

단계 1.1.2.7.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

단계 1.1.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

단계 1.1.2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 1.1.2.10

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 1.1.2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.11.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

단계 1.1.2.11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 1.2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \sqrt{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 2.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$[0, \infty)$

단계 4

$[0, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

단계 4.2.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

단계 4.2.1.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

단계 4.2.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

단계 4.2.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

단계 4.2.1.6.2

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.2.2

최종 답은 $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.3

$f'' (2)$ 이 음수이므로 그래프는 $[0, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $[0, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 5