미적분 예제

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 - x}$ 을(를) ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.1.8

합의 법칙에 의해 $4 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.1.9

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.1.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.1.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

단계 1.1.1.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

단계 1.1.1.13

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.1.13.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

단계 1.1.1.13.2

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.1.13.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

단계 1.1.2.1.2.2

${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

단계 1.1.2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

단계 1.1.2.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.7.2

${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.7.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.7.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.7.3.3

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

단계 1.1.2.7.4

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.2.7.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

단계 1.1.2.8

합의 법칙에 의해 $4 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.2.9

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

단계 1.1.2.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

단계 1.1.2.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

단계 1.1.2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

단계 1.1.2.13

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.2.13.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

단계 1.1.2.13.2

$\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.1.2.13.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 1.2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{4 - x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$4 - x \geq 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.1

부등식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x \geq - 4$

단계 2.2.2

$- x \geq - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$- x \geq - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x \leq 4$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 4]$

조건제시법:

${x | x \leq 4}$

구간 표기:

$(- \infty, 4]$

조건제시법:

${x | x \leq 4}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 4]$

단계 4

$(- \infty, 4]$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$4$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.2.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 4.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 4.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

단계 4.2.1.5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

단계 4.2.2

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

단계 4.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{32}$ 입니다.

$- \frac{1}{32}$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 4]$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 4]$ 에서 아래로 오목함

단계 5