미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{x - 5}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x - 5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 5})$

단계 1.1.1.1.2

$\frac{1}{x - 5}$ 을 ${(x - 5)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 1})$

단계 1.1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.1.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

단계 1.1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

단계 1.1.1.3.4

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

단계 1.1.1.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

단계 1.1.1.3.5.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2}$

단계 1.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 1.1.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 1.1.1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

단계 1.1.2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ 을 ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$

단계 1.1.2.1.2.2

${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1}$

단계 1.1.2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2}$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 3 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

단계 1.1.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

단계 1.1.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

단계 1.1.2.3.4

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 1.1.2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

단계 1.1.2.3.5.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3}$

단계 1.1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

단계 1.1.2.4.2

$6$ 와 $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$6 = 0$

단계 1.2.3

$6 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \frac{3}{x - 5}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{3}{x - 5}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 5}$

구간 표기:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 5}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 5)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{6}{{((0) - 5)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = \frac{6}{{(- 5)}^{3}}$

단계 4.2.1.2

$- 5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0) = \frac{6}{- 125}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (0) = - \frac{6}{125}$

단계 4.2.3

최종 답은 $- \frac{6}{125}$ 입니다.

$- \frac{6}{125}$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 5)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 5)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(5, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f'' (8) = \frac{6}{{((8) - 5)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (8) = \frac{6}{3^{3}}$

단계 5.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (8) = \frac{6}{27}$

단계 5.2.2

$6$ 및 $27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (8) = \frac{3 (2)}{27}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (8) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 9}$

단계 5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (8) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 9}$

단계 5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (8) = \frac{2}{9}$

단계 5.2.3

최종 답은 $\frac{2}{9}$ 입니다.

$\frac{2}{9}$

단계 5.3

$f'' (8)$ 이 양수이므로 그래프는 $(5, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(5, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 5)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(5, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7