미적분 예제

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x {(x - 2)}^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

단계 1.1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.3.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.4

미분합니다.

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단계 1.1.1.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.4.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

단계 1.1.1.4.6

${(x - 2)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

단계 1.1.1.5

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

단계 1.1.1.5.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

단계 1.1.1.5.3

$9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ 에서 $3 {(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1.5.3.1

$9 x {(x - 2)}^{2}$ 에서 $3 {(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

단계 1.1.1.5.3.2

$3 {(x - 2)}^{3}$ 에서 $3 {(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

단계 1.1.1.5.3.3

$3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ 에서 $3 {(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

단계 1.1.1.5.4

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.5

${(x - 2)}^{2}$ 을 $(x - 2) (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 2) (x - 2)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.1.5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.5.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.7.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.7.1.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.7.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.9

간단히 합니다.

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단계 1.1.1.5.9.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.9.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

단계 1.1.1.5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.5.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.1.5.11.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.1.5.11.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.1.5.11.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.7

$- 12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.8

$- 2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.9

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

단계 1.1.1.5.11.10

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

단계 1.1.1.5.12

$- 6 x^{2}$ 에서 $48 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

단계 1.1.1.5.13

$24 x$ 를 $48 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 54$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 54 x^{2}$ 의 미분은 $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.3.3

$2$ 에 $- 54$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [72 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $72 x$ 의 미분은 $72 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.4.3

$72$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 1.1.2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.5.1

$- 24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 24$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

단계 1.1.2.5.2

$36 x^{2} - 108 x + 72$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $36 x^{2} - 108 x + 72$ 입니다.

$36 x^{2} - 108 x + 72$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$36 x^{2} - 108 x + 72$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1.1

$36 x^{2}$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

단계 1.2.2.1.2

$- 108 x$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

단계 1.2.2.1.3

$72$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

단계 1.2.2.1.4

$36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

단계 1.2.2.1.5

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

단계 1.2.2.2

인수분해합니다.

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단계 1.2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x + 2$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $2$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 2, - 1$

단계 1.2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

단계 1.2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 1.2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.2.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 1.2.6

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 2, 1$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

단계 4.2.1.2

$36$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

단계 4.2.1.3

$- 108$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

단계 4.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 0 + 72$

단계 4.2.2.2

$0$ 를 $72$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 72$

단계 4.2.3

최종 답은 $72$ 입니다.

$72$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(1, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.5$ 을 대입합니다.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$1.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

단계 5.2.1.2

$36$ 에 $2.25$ 을 곱합니다.

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

단계 5.2.1.3

$- 108$ 에 $1.5$ 을 곱합니다.

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$81$ 에서 $162$ 을 뺍니다.

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

단계 5.2.2.2

$- 81$ 를 $72$ 에 더합니다.

$f'' (1.5) = - 9$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 9$ 입니다.

$- 9$

단계 5.3

$f'' (1.5)$ 이 음수이므로 그래프는 $(1, 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, 2)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(2, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

단계 6.2.1.2

$36$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

단계 6.2.1.3

$- 108$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$576$ 에서 $432$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 144 + 72$

단계 6.2.2.2

$144$ 를 $72$ 에 더합니다.

$f'' (4) = 216$

단계 6.2.3

최종 답은 $216$ 입니다.

$216$

단계 6.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(1, 2)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8