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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 1.1.1
, 일 때 는 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.2
미분합니다.
단계 1.1.2.1
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.2.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 1.1.2.3
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.1.2.4
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.2.5
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.1.2.6
식을 간단히 합니다.
단계 1.1.2.6.1
를 에 더합니다.
단계 1.1.2.6.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.3
를 승 합니다.
단계 1.1.4
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.5
를 에 더합니다.
단계 1.1.6
간단히 합니다.
단계 1.1.6.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.6.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.6.3
분자를 간단히 합니다.
단계 1.1.6.3.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.6.3.1.1
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.6.3.1.1.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.6.3.1.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.6.3.1.1.2.1
를 승 합니다.
단계 1.1.6.3.1.1.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.6.3.1.1.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.6.3.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.6.3.2
의 반대 항을 묶습니다.
단계 1.1.6.3.2.1
에서 을 뺍니다.
단계 1.1.6.3.2.2
를 에 더합니다.
단계 1.2
2차 도함수를 구합니다
단계 1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.2.2
, 일 때 는 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3
멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3.1
의 지수를 곱합니다.
단계 1.2.3.1.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 1.2.3.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3.3
에 을 곱합니다.
단계 1.2.4
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.4.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 1.2.4.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.4.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.2.5
인수분해하여 식을 간단히 합니다.
단계 1.2.5.1
에 을 곱합니다.
단계 1.2.5.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.2.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.5.2.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.6
공약수로 약분합니다.
단계 1.2.6.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.6.2
공약수로 약분합니다.
단계 1.2.6.3
수식을 다시 씁니다.
단계 1.2.7
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2.8
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.9
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.2.10
식을 간단히 합니다.
단계 1.2.10.1
를 에 더합니다.
단계 1.2.10.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.11
를 승 합니다.
단계 1.2.12
를 승 합니다.
단계 1.2.13
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.2.14
를 에 더합니다.
단계 1.2.15
에서 을 뺍니다.
단계 1.2.16
와 을 묶습니다.
단계 1.2.17
간단히 합니다.
단계 1.2.17.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.2.17.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.2.17.2.1
에 을 곱합니다.
단계 1.2.17.2.2
에 을 곱합니다.
단계 1.2.17.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.17.3.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.17.3.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.17.3.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.17.4
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.17.5
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.17.6
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.2.17.7
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.17.8
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 1.3
의 에 대한 2차 도함수는 입니다.
단계 2
단계 2.1
2차 도함수를 과(와) 같게 합니다.
단계 2.2
분자가 0과 같게 만듭니다.
단계 2.3
에 대해 식을 풉니다.
단계 2.3.1
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 2.3.1.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 2.3.1.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 2.3.1.2.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 2.3.1.2.1.1
공약수로 약분합니다.
단계 2.3.1.2.1.2
을 로 나눕니다.
단계 2.3.1.3
우변을 간단히 합니다.
단계 2.3.1.3.1
을 로 나눕니다.
단계 2.3.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 2.3.3
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 2.3.3.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 2.3.3.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 2.3.3.2.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 2.3.3.2.1.1
공약수로 약분합니다.
단계 2.3.3.2.1.2
을 로 나눕니다.
단계 2.3.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
단계 2.3.5
을 간단히 합니다.
단계 2.3.5.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.5.2
분자를 간단히 합니다.
단계 2.3.5.2.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.5.2.2
양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
단계 2.3.5.3
에 을 곱합니다.
단계 2.3.5.4
분모를 결합하고 간단히 합니다.
단계 2.3.5.4.1
에 을 곱합니다.
단계 2.3.5.4.2
를 승 합니다.
단계 2.3.5.4.3
를 승 합니다.
단계 2.3.5.4.4
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.3.5.4.5
를 에 더합니다.
단계 2.3.5.4.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.5.4.6.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 2.3.5.4.6.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 2.3.5.4.6.3
와 을 묶습니다.
단계 2.3.5.4.6.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 2.3.5.4.6.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 2.3.5.4.6.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 2.3.5.4.6.5
지수값을 계산합니다.
단계 2.3.6
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 2.3.6.1
먼저, 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.
단계 2.3.6.2
그 다음 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.
단계 2.3.6.3
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 3
단계 3.1
에 을 대입하여 값을 구합니다.
단계 3.1.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 3.1.2
결과를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.1.2.1.2
분자를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.1.2.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.1.2.1.2.2
를 승 합니다.
단계 3.1.2.1.2.3
을 로 바꿔 씁니다.
단계 3.1.2.1.2.3.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 3.1.2.1.2.3.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 3.1.2.1.2.3.3
와 을 묶습니다.
단계 3.1.2.1.2.3.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.1.2.3.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.1.2.3.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 3.1.2.1.2.3.5
지수값을 계산합니다.
단계 3.1.2.1.3
를 승 합니다.
단계 3.1.2.1.4
에 을 곱합니다.
단계 3.1.2.1.5
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.1.5.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.1.2.1.5.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.1.5.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.1.2.1.5.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.1.5.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.1.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.2.1
지수 법칙 을 이용하여 지수를 분배합니다.
단계 3.1.2.2.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.1.2.2.1.2
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.1.2.2.2
분자를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.2.2.1
를 승 합니다.
단계 3.1.2.2.2.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 3.1.2.2.2.2.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 3.1.2.2.2.2.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 3.1.2.2.2.2.3
와 을 묶습니다.
단계 3.1.2.2.2.2.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.2.2.2.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.2.2.2.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 3.1.2.2.2.2.5
지수값을 계산합니다.
단계 3.1.2.2.3
를 승 합니다.
단계 3.1.2.2.4
에 을 곱합니다.
단계 3.1.2.2.5
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.2.5.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.1.2.2.5.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.2.5.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.1.2.2.5.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.2.5.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.1.2.2.6
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 3.1.2.2.7
와 을 묶습니다.
단계 3.1.2.2.8
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 3.1.2.2.9
분자를 간단히 합니다.
단계 3.1.2.2.9.1
에 을 곱합니다.
단계 3.1.2.2.9.2
를 에 더합니다.
단계 3.1.2.3
분자에 분모의 역수를 곱합니다.
단계 3.1.2.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.1.2.4.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.4.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.1.2.5
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.5.1
공약수로 약분합니다.
단계 3.1.2.5.2
수식을 다시 씁니다.
단계 3.1.2.6
최종 답은 입니다.
단계 3.2
에 을 대입하여 구한 점은 입니다. 이 점은 변곡점입니다.
단계 3.3
에 을 대입하여 값을 구합니다.
단계 3.3.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 3.3.2
결과를 간단히 합니다.
단계 3.3.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 3.3.2.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.3.2.1.2
를 승 합니다.
단계 3.3.2.1.3
지수 법칙 을 이용하여 지수를 분배합니다.
단계 3.3.2.1.3.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.3.2.1.3.2
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.3.2.1.4
분자를 간단히 합니다.
단계 3.3.2.1.4.1
를 승 합니다.
단계 3.3.2.1.4.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 3.3.2.1.4.2.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 3.3.2.1.4.2.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 3.3.2.1.4.2.3
와 을 묶습니다.
단계 3.3.2.1.4.2.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.1.4.2.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.1.4.2.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3.2.1.4.2.5
지수값을 계산합니다.
단계 3.3.2.1.5
를 승 합니다.
단계 3.3.2.1.6
에 을 곱합니다.
단계 3.3.2.1.7
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.1.7.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.3.2.1.7.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.1.7.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.3.2.1.7.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.1.7.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3.2.1.8
에 을 곱합니다.
단계 3.3.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 3.3.2.2.1
지수 법칙 을 이용하여 지수를 분배합니다.
단계 3.3.2.2.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.3.2.2.1.2
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.3.2.2.1.3
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 3.3.2.2.2
를 승 합니다.
단계 3.3.2.2.3
에 을 곱합니다.
단계 3.3.2.2.4
분자를 간단히 합니다.
단계 3.3.2.2.4.1
를 승 합니다.
단계 3.3.2.2.4.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 3.3.2.2.4.2.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 3.3.2.2.4.2.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 3.3.2.2.4.2.3
와 을 묶습니다.
단계 3.3.2.2.4.2.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.2.4.2.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.2.4.2.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3.2.2.4.2.5
지수값을 계산합니다.
단계 3.3.2.2.5
를 승 합니다.
단계 3.3.2.2.6
에 을 곱합니다.
단계 3.3.2.2.7
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.2.7.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.3.2.2.7.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.2.7.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.3.2.2.7.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.2.7.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3.2.2.8
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 3.3.2.2.9
와 을 묶습니다.
단계 3.3.2.2.10
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 3.3.2.2.11
분자를 간단히 합니다.
단계 3.3.2.2.11.1
에 을 곱합니다.
단계 3.3.2.2.11.2
를 에 더합니다.
단계 3.3.2.3
분자에 분모의 역수를 곱합니다.
단계 3.3.2.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.3.2.4.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.4.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3.2.5
의 공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.5.1
공약수로 약분합니다.
단계 3.3.2.5.2
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3.2.6
최종 답은 입니다.
단계 3.4
에 을 대입하여 구한 점은 입니다. 이 점은 변곡점입니다.
단계 3.5
변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.
단계 4
을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.
단계 5
단계 5.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 5.2
결과를 간단히 합니다.
단계 5.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.2.1.1
를 승 합니다.
단계 5.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 5.2.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 5.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 5.2.2.1
를 승 합니다.
단계 5.2.2.2
를 에 더합니다.
단계 5.2.2.3
를 승 합니다.
단계 5.2.3
식을 간단히 합니다.
단계 5.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 5.2.3.2
을 로 나눕니다.
단계 5.2.3.3
에 을 곱합니다.
단계 5.2.4
최종 답은 입니다.
단계 5.3
에서의 2차 미분값은 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 구간에서 감소합니다.
이므로 에서 감소함
이므로 에서 감소함
단계 6
단계 6.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 6.2
결과를 간단히 합니다.
단계 6.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 6.2.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 6.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 6.2.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 6.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 6.2.2.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 6.2.2.2
를 에 더합니다.
단계 6.2.2.3
를 승 합니다.
단계 6.2.3
공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.
단계 6.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 6.2.3.2
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 6.2.3.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.3.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 6.2.3.2.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.3.2.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 6.2.3.2.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 6.2.3.3
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 6.2.4
최종 답은 입니다.
단계 6.3
에서의 이계도함수는 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 구간에서 증가합니다.
이므로 에서 증가함
이므로 에서 증가함
단계 7
단계 7.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 7.2
결과를 간단히 합니다.
단계 7.2.1
분자를 간단히 합니다.
단계 7.2.1.1
를 승 합니다.
단계 7.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 7.2.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 7.2.2
분모를 간단히 합니다.
단계 7.2.2.1
를 승 합니다.
단계 7.2.2.2
를 에 더합니다.
단계 7.2.2.3
를 승 합니다.
단계 7.2.3
식을 간단히 합니다.
단계 7.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 7.2.3.2
을 로 나눕니다.
단계 7.2.3.3
에 을 곱합니다.
단계 7.2.4
최종 답은 입니다.
단계 7.3
에서의 2차 미분값은 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 구간에서 감소합니다.
이므로 에서 감소함
이므로 에서 감소함
단계 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
단계 9