미적분 예제

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x {(x - 3)}^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

단계 1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4

미분합니다.

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단계 1.1.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

단계 1.1.4.6

${(x - 3)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

단계 1.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

단계 1.1.5.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

단계 1.1.5.3

$9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ 에서 $3 {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.3.1

$9 x {(x - 3)}^{2}$ 에서 $3 {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

단계 1.1.5.3.2

$3 {(x - 3)}^{3}$ 에서 $3 {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

단계 1.1.5.3.3

$3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ 에서 $3 {(x - 3)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

단계 1.1.5.4

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

단계 1.1.5.5

${(x - 3)}^{2}$ 을 $(x - 3) (x - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 3) (x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.7.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.7.1.3

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.7.2

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.9

간단히 합니다.

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단계 1.1.5.9.1

$- 6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.9.2

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

단계 1.1.5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.5.11.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.5.11.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.4

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.11.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.7

$- 18$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.8

$- 3$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.9

$4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

단계 1.1.5.11.10

$27$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

단계 1.1.5.12

$- 9 x^{2}$ 에서 $72 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

단계 1.1.5.13

$54 x$ 를 $108 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 81$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 81 x^{2}$ 의 미분은 $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.3.3

$2$ 에 $- 81$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.4

$\frac{d}{d x} [162 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$162$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $162 x$ 의 미분은 $162 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.4.3

$162$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

단계 1.2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$- 81$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 81$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 81$ 입니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

단계 1.2.5.2

$36 x^{2} - 162 x + 162$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $36 x^{2} - 162 x + 162$ 입니다.

$36 x^{2} - 162 x + 162$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$36 x^{2} - 162 x + 162$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$36 x^{2}$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 162 x$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

단계 2.2.1.3

$162$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

단계 2.2.1.4

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

단계 2.2.1.5

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ 에서 $18$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ 이고 합이 $b = - 9$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$- 9 x$ 에서 $- 9$ 를 인수분해합니다.

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

단계 2.2.2.1.1.2

$- 9$ 를 $- 3$ + $- 6$ 로 다시 씁니다.

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

단계 2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

단계 2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

단계 2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x - 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.4

$2 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 3 = 0$

단계 2.4.2

$2 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$2 x = 3$

단계 2.4.2.2

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{2}$

단계 2.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.6

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{3}{2}, 3$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$3 (\frac{3}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$3$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

단계 3.1.2.1.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

단계 3.1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

단계 3.1.2.3

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

단계 3.1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

단계 3.1.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.5.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

단계 3.1.2.5.2

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

단계 3.1.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

단계 3.1.2.7

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.7.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

단계 3.1.2.7.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

단계 3.1.2.8

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

단계 3.1.2.9

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

단계 3.1.2.10

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

단계 3.1.2.11

$\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.11.1

$\frac{9}{2}$ 에 $\frac{27}{8}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

단계 3.1.2.11.2

$9$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

단계 3.1.2.11.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

단계 3.1.2.12

최종 답은 $- \frac{243}{16}$ 입니다.

$- \frac{243}{16}$

단계 3.2

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

단계 3.3

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 에 $3$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

단계 3.3.2.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (3) = 9 \cdot 0$

단계 3.3.2.4

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (3) = 0$

단계 3.3.2.5

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.4

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ 에 $3$ 을 대입하여 구한 점은 $(3, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(3, 0)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{3}{2})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.4$ 을 대입합니다.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$1.4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

단계 5.2.1.2

$36$ 에 $1.96$ 을 곱합니다.

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

단계 5.2.1.3

$- 162$ 에 $1.4$ 을 곱합니다.

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$70.56$ 에서 $226.8$ 을 뺍니다.

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

단계 5.2.2.2

$- 156.24$ 를 $162$ 에 더합니다.

$f'' (1.4) = 5.76$

단계 5.2.3

최종 답은 $5.76$ 입니다.

$5.76$

단계 5.3

$1.4$ 에서의 이계도함수는 $5.76$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, \frac{3}{2})$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{3}{2})$ 에서 증가함

단계 6

$(\frac{3}{2}, 3)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.25$ 을 대입합니다.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2.25$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

단계 6.2.1.2

$36$ 에 $5.0625$ 을 곱합니다.

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

단계 6.2.1.3

$- 162$ 에 $2.25$ 을 곱합니다.

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$182.25$ 에서 $364.5$ 을 뺍니다.

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

단계 6.2.2.2

$- 182.25$ 를 $162$ 에 더합니다.

$f'' (2.25) = - 20.25$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 20.25$ 입니다.

$- 20.25$

단계 6.3

$2.25$ 에서의 2차 미분값은 $- 20.25$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(\frac{3}{2}, 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{3}{2}, 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.1$ 을 대입합니다.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$3.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

단계 7.2.1.2

$36$ 에 $9.61$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

단계 7.2.1.3

$- 162$ 에 $3.1$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

단계 7.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$345.96$ 에서 $502.2$ 을 뺍니다.

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

단계 7.2.2.2

$- 156.24$ 를 $162$ 에 더합니다.

$f'' (3.1) = 5.76$

단계 7.2.3

최종 답은 $5.76$ 입니다.

$5.76$

단계 7.3

$3.1$ 에서의 이계도함수는 $5.76$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

단계 9