미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x^{2} - 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3.1.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3.2

$2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.3.2.2

$- 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

단계 1.1.6.5

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

단계 1.1.6.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

단계 1.1.6.5.3

$(x + 2) (x - 2)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 x = 0$

단계 2.3

$8 x = 0$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$8 x = 0$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{8}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.2

${(x + 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.2.2

${(x + 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.2.2.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4.2.3

${(x - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

${(x - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2.3.2

${(x - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.2.3.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.2.4

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2, 2$

단계 4.3

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 2, x = 2$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$8$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

단계 6.2.2.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

단계 6.2.2.4

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

단계 6.2.2.5

$25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

단계 6.2.4

최종 답은 $\frac{24}{25}$ 입니다.

$\frac{24}{25}$

단계 6.3

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $\frac{24}{25}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 2, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

단계 7.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

단계 7.2.2.4

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

단계 7.2.2.5

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

단계 7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

단계 7.2.4

최종 답은 $\frac{8}{9}$ 입니다.

$\frac{8}{9}$

단계 7.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $\frac{8}{9}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 2, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 2, 0)$ 에서 증가함

단계 8

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

단계 8.2.2.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

단계 8.2.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

단계 8.2.2.4

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

단계 8.2.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

단계 8.2.4

최종 답은 $- \frac{8}{9}$ 입니다.

$- \frac{8}{9}$

단계 8.3

$x = 1$ 에서의 도함수는 $- \frac{8}{9}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

단계 9

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

단계 9.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

단계 9.2.2.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

단계 9.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

단계 9.2.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

단계 9.2.3

$25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

단계 9.2.4

최종 답은 $- \frac{24}{25}$ 입니다.

$- \frac{24}{25}$

단계 9.3

$x = 3$ 에서의 도함수는 $- \frac{24}{25}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 감소함

단계 10

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

다음 구간에서 감소: $(0, 2), (2, \infty)$

단계 11