미적분 예제

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ 을 ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 4$ 이고 $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ 입니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.5

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.6

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.7

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.3.7.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.3.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.4.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.5

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.6

$- 4 x + 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.6.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.6.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.6.3

$4 (- x) + 4 (2)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.8

$16 x (- x + 2)$ 을 ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.8.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

단계 1.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 1.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ 을 ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.5

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.6

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.7

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.3.7.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.3.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.4.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.5

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.6

$- 4 x + 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.6.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.6.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.6.3

$4 (- x) + 4 (2)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.8

$16 x (- x + 2)$ 을 ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.8.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

단계 1.4.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 1.4.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 1.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ 을 ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.4

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.5

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.6

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.7

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.3.7.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.3.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.4.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.4.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.5

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.6

$- 4 x + 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.6.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.6.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.6.3

$4 (- x) + 4 (2)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.8

$16 x (- x + 2)$ 을 ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.8.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.8.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.8.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.9

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.1.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

단계 1.5.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 1.5.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 1.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.2.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.4

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.4.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.5

$\frac{d}{d x} [4 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 y$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.5.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

단계 3.2.6

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

단계 3.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

단계 3.2.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

단계 3.3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

단계 3.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

방정식의 양변에서 $8 x$ 를 뺍니다.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

단계 3.5.1.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

단계 3.5.2

$2 y y' + 4 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

단계 3.5.2.2

$4 y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

단계 3.5.2.3

$2 y' y + 2 y' \cdot 2$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

단계 3.5.3

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ 의 각 항을 $2 (y + 2)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ 의 각 항을 $2 (y + 2)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.2.2

$y + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1.1

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1.1.1

$- 8 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3.1.3

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1.3.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

단계 3.5.3.3.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.2

$- 4 x + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.2.2.1

$- 4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.2.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.2.3

$4 (- x) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.5

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.3.2.6.1

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

단계 3.5.3.3.2.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 (x - 1) = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$4 (x - 1) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$4 (x - 1) = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 4.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

단계 4.2.1.2.1.2

$x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 1 = \frac{0}{4}$

단계 4.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x - 1 = 0$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- (1) + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

단계 5.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

단계 5.2.1.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

단계 5.2.1.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 + 2$

단계 5.2.2

$- 2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (1) = 0$

단계 5.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- (1) + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

단계 6.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

단계 6.2.1.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

단계 6.2.1.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = - 2 - 2$

단계 6.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 4$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$- 4$

단계 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

단계 8