미적분 예제

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

단계 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

단계 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

단계 2.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

단계 2.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 2.2.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

단계 2.2.6.2

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $25 (x^{2} - y^{2})$ 의 미분은 $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ 입니다.

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

단계 2.3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

단계 2.3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

단계 2.3.1.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$25 (2 x - 2 y y')$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

단계 2.3.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$50 x + 25 (- 2 y y')$

단계 2.3.5.2.2

$- 2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$50 x - 50 y y'$

단계 2.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 50 y y' + 50 x$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.6

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.7

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.7.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.7.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.7.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.7.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.1.4.8

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $50 y y'$ 를 더합니다.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

단계 2.5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

방정식의 양변에서 $8 x^{3}$ 를 뺍니다.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

단계 2.5.3.2

방정식의 양변에서 $8 x y^{2}$ 를 뺍니다.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

단계 2.5.4

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$8 y y' x^{2}$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

단계 2.5.4.2

$8 y^{3} y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

단계 2.5.4.3

$50 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

단계 2.5.4.4

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

단계 2.5.4.5

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

단계 2.5.5

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ 의 각 항을 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.1

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ 의 각 항을 $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 2.5.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 2.5.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.2.3

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

단계 2.5.5.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.1

$50$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.1.1

$50 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.1.2.1

$2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.2

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.2.1

$- 8 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.2.2.1

$2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.4

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.4.1

$- 8 x y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.4.2.1

$2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

단계 2.5.5.3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

단계 2.5.5.3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.5

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.5.1

$- 4 x y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.1.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.1.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

단계 2.5.5.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

단계 2.5.5.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

단계 2.5.5.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.3.1

$\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

단계 2.5.5.3.3.2

$(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.6

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.6.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.6.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.7

$- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.7.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.7.2

$25 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.7.3

$- 4 x y^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.7.4

$x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.7.5

$x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.8

$- 4 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.9

$25$ 을 $- 1 (- 25)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.10

$- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.11

$- 4 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.12

$- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.5.3.13.1

$- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ 을 $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.5.5.3.13.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 2.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

단계 3.2.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.2.3

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

단계 3.2.3.2

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1.1

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

단계 3.2.3.2.1.2

방정식의 양변에서 $4 y^{2}$ 를 뺍니다.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

단계 3.2.3.2.2

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.1

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

단계 3.2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

단계 3.2.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

단계 3.2.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.3.1

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.3.1.1

$- 4 y^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

단계 3.2.3.2.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.2.3.1.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

단계 3.2.3.2.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

단계 3.2.3.2.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

단계 3.2.3.2.2.3.1.2.4

$- y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

단계 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

단계 3.2.3.2.4

$\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.4.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

단계 3.2.3.2.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

단계 3.2.3.2.4.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 을 ${(\frac{5}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

단계 3.2.3.2.4.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{5}{2}$ 이고 $b = y$ 입니다.

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

단계 3.2.3.2.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $y$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

단계 3.2.3.2.4.6

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.4.6.1

$y$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

단계 3.2.3.2.4.6.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

단계 3.2.3.2.4.7

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

단계 3.2.3.2.4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- y$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

단계 3.2.3.2.4.9

$- y$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

단계 3.2.3.2.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

단계 3.2.3.2.4.11

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

단계 3.2.3.2.4.12

$\frac{5 + 2 y}{2}$ 에 $\frac{5 - 2 y}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

단계 3.2.3.2.4.13

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

단계 3.2.3.2.4.14

$\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.4.14.1

$(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

단계 3.2.3.2.4.14.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

단계 3.2.3.2.4.14.3

분수 $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

단계 3.2.3.2.4.15

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

단계 3.2.3.2.4.16

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

단계 3.2.3.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

단계 3.2.3.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.