미적분 예제

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

단계 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

단계 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

단계 2.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x y$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x y' + y \cdot 1)$

단계 2.3.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (x y' + y)$

단계 2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$6 x y' + 6 y$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

단계 2.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.1

방정식의 양변에서 $6 x y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.3

$3 y^{2} y' - 6 x y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.3.1

$3 y^{2} y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.3.2

$- 6 x y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.3.3

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

단계 2.5.4

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 (y^{2} - 2 x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.1

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $3 (y^{2} - 2 x)$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.2.2

$y^{2} - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1.1

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1.1.1

$6 y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.3.1.2

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1.2.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.4.3.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

단계 2.5.4.3.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

단계 2.5.4.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

단계 2.5.4.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

단계 2.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 y - x^{2} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $2 y$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 2 y$

단계 3.2.2

$- x^{2} = - 2 y$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- x^{2} = - 2 y$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

단계 3.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

단계 3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.3.1

$\frac{- 2 y}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

단계 3.2.2.3.2

$- 1 \cdot (- 2 y)$ 을 $- (- 2 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} = - (- 2 y)$

단계 3.2.2.3.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} = 2 y$

단계 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

단계 3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2 y}$

단계 3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2 y}$

단계 3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

단계 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\sqrt{2 y}$ 을 대입합니다.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$6 \sqrt{2 y}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

단계 4.2.2

최종 답은 $6 \sqrt{2 y} y$ 입니다.

$6 \sqrt{2 y} y$

단계 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \sqrt{2 y}$ 을 대입합니다.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

단계 5.2.2

최종 답은 $- 6 \sqrt{2 y} y$ 입니다.

$- 6 \sqrt{2 y} y$

단계 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

단계 7