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미적분 예제
단계 1
단계 1.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 1.1.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.1.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 1.1.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 1.1.4
미분합니다.
단계 1.1.4.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.1.4.2
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.1.4.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.4.4
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.1.4.5
에 을 곱합니다.
단계 1.1.4.6
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.4.7
에 을 곱합니다.
단계 1.1.4.8
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.1.4.9
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5
간단히 합니다.
단계 1.1.5.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.5.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.1.5.3.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.1.5.3.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.1.5.3.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 1.1.5.4
에서 을 뺍니다.
단계 1.1.5.5
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.1.5.6
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.1.5.6.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.5.6.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.5.6.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.5.7
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 1.1.5.7.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.5.7.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.1.5.7.1.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.1.5.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.5.7.1.5.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.1.6
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.1.7
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.7.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.1.5.8
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.1.5.9
간단히 합니다.
단계 1.1.5.9.1
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.9.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.10
첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 를 전개합니다.
단계 1.1.5.11
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.1.5.11.1
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.3
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.1.5.11.4
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.4.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.5.11.4.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.5
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.6
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.7
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.1.5.11.8
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.8.1
를 옮깁니다.
단계 1.1.5.11.8.2
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.8.2.1
를 승 합니다.
단계 1.1.5.11.8.2.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 1.1.5.11.8.3
를 에 더합니다.
단계 1.1.5.11.9
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.11.10
에 을 곱합니다.
단계 1.1.5.12
에서 을 뺍니다.
단계 1.1.5.13
를 에 더합니다.
단계 1.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 2
단계 2.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 2.2
방정식의 좌변을 인수분해합니다.
단계 2.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.4
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.5
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.6
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.1.7
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.2
항을 다시 정렬합니다.
단계 2.2.3
인수분해합니다.
단계 2.2.3.1
유리근 정리르 이용하여 를 인수분해합니다.
단계 2.2.3.1.1
다항함수의 계수가 정수인 경우, 가 상수의 약수이며 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 의 형태를 가집니다.
단계 2.2.3.1.2
의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.
단계 2.2.3.1.3
을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 이므로 은 다항식의 근입니다.
단계 2.2.3.1.3.1
을 다항식에 대입합니다.
단계 2.2.3.1.3.2
를 승 합니다.
단계 2.2.3.1.3.3
에 을 곱합니다.
단계 2.2.3.1.3.4
를 승 합니다.
단계 2.2.3.1.3.5
에 을 곱합니다.
단계 2.2.3.1.3.6
를 에 더합니다.
단계 2.2.3.1.3.7
에 을 곱합니다.
단계 2.2.3.1.3.8
에서 을 뺍니다.
단계 2.2.3.1.3.9
를 에 더합니다.
단계 2.2.3.1.4
는 알고 있는 해이므로 다항식을 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.
단계 2.2.3.1.5
을 로 나눕니다.
단계 2.2.3.1.5.1
다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 인 항을 삽입합니다.
- | - | + | - | + |
단계 2.2.3.1.5.2
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + |
단계 2.2.3.1.5.3
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
- | + |
단계 2.2.3.1.5.4
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - |
단계 2.2.3.1.5.5
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ |
단계 2.2.3.1.5.6
원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.
- | |||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
단계 2.2.3.1.5.7
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
단계 2.2.3.1.5.8
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
단계 2.2.3.1.5.9
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + |
단계 2.2.3.1.5.10
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- |
단계 2.2.3.1.5.11
원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
단계 2.2.3.1.5.12
피제수 의 고차항을 제수 의 고차항으로 나눕니다.
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
단계 2.2.3.1.5.13
새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
단계 2.2.3.1.5.14
식을 피제수에서 빼야 하므로 의 모든 부호를 바꿉니다.
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - |
단계 2.2.3.1.5.15
부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.
- | + | - | |||||||||
- | - | + | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
단계 2.2.3.1.5.16
나머지가 이므로, 몫이 최종해입니다.
단계 2.2.3.1.6
을 인수의 집합으로 표현합니다.
단계 2.2.3.2
불필요한 괄호를 제거합니다.
단계 2.2.4
인수분해합니다.
단계 2.2.4.1
공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.
단계 2.2.4.1.1
형태의 다항식에 대해 곱이 이고 합이 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.
단계 2.2.4.1.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.4.1.1.2
를 + 로 다시 씁니다.
단계 2.2.4.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 2.2.4.1.2
각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.
단계 2.2.4.1.2.1
처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.
단계 2.2.4.1.2.2
각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.
단계 2.2.4.1.3
최대공약수 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.
단계 2.2.4.2
불필요한 괄호를 제거합니다.
단계 2.2.5
지수를 묶습니다.
단계 2.2.5.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.5.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.2.5.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 2.2.5.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.2.5.5
괄호를 제거합니다.
단계 2.2.5.6
를 승 합니다.
단계 2.2.5.7
를 승 합니다.
단계 2.2.5.8
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.2.5.9
를 에 더합니다.
단계 2.2.5.10
에 을 곱합니다.
단계 2.3
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 2.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 2.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 2.4.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 2.5
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 2.5.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 2.5.2
을 에 대해 풉니다.
단계 2.5.2.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 2.5.2.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 2.6
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 3
단계 3.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 4
단계 4.1
일 때 값을 구합니다.
단계 4.1.1
에 를 대입합니다.
단계 4.1.2
간단히 합니다.
단계 4.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 4.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.1.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 4.1.2.4
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 4.1.2.4.1
에 을 곱합니다.
단계 4.1.2.4.1.1
를 승 합니다.
단계 4.1.2.4.1.2
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 4.1.2.4.2
를 에 더합니다.
단계 4.1.2.5
를 승 합니다.
단계 4.2
일 때 값을 구합니다.
단계 4.2.1
에 를 대입합니다.
단계 4.2.2
간단히 합니다.
단계 4.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.2.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 4.2.2.4
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 4.2.2.5
에 을 곱합니다.
단계 4.3
모든 점을 나열합니다.
단계 5