미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} + 2 x + 2$ 입니다.

$6 x^{2} + 2 x + 2$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

단계 2.2

$6 x^{2} + 2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

단계 2.2.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

단계 2.2.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

단계 2.2.4

$2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

단계 2.2.5

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

단계 2.3

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.2.1.2

$3 x^{2} + x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

단계 2.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.5

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = 1$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.2.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.3

$1$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.4

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.7

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.1.2.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.1.3

$1$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.1.4

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.7.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.7.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.7.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.7.5

$i \sqrt{11}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

단계 2.7.6

$- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

단계 2.7.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.8

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.8.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.1.2.2

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.1.3

$1$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.1.4

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

단계 2.8.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.8.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.8.4

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.8.5

$- i \sqrt{11}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

단계 2.8.6

$- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

단계 2.8.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

단계 2.9

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음