미적분 예제

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x + 3$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.4.2

$x - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.2.1

$x - 3 - x - 1 \cdot 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2.1.2

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.2.3

$- 3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ 을 ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

단계 2.1.2.2

${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

단계 2.1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

단계 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

단계 2.3.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

단계 2.3.5.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

단계 2.4.2

$12$ 와 $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6