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미적분 예제
단계 1
을 함수로 씁니다.
단계 2
단계 2.1
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 2.2.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 2.3
미분합니다.
단계 2.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3
식을 간단히 합니다.
단계 2.3.3.1
에 을 곱합니다.
단계 2.3.3.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 2.3.3.3
을 로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.4
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.5
에 을 곱합니다.
단계 2.4
간단히 합니다.
단계 2.4.1
항을 다시 정렬합니다.
단계 2.4.2
에서 인수를 다시 정렬합니다.
단계 3
단계 3.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 3.2
의 값을 구합니다.
단계 3.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.2.2
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.3
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 3.2.3.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 3.2.4
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.2.5
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.6
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.7
에 을 곱합니다.
단계 3.2.8
의 왼쪽으로 이동하기
단계 3.2.9
을 로 바꿔 씁니다.
단계 3.2.10
에 을 곱합니다.
단계 3.3
의 값을 구합니다.
단계 3.3.1
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3.1.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 3.3.1.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3.1.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 3.3.2
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.3.3
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3.4
에 을 곱합니다.
단계 3.3.5
의 왼쪽으로 이동하기
단계 3.3.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 3.4
간단히 합니다.
단계 3.4.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 3.4.2
항을 묶습니다.
단계 3.4.2.1
에 을 곱합니다.
단계 3.4.2.2
에 을 곱합니다.
단계 3.4.2.3
에서 을 뺍니다.
단계 3.4.3
항을 다시 정렬합니다.
단계 3.4.4
에서 인수를 다시 정렬합니다.
단계 4
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 5
단계 5.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 5.1.1
, 일 때 는 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.2
, 일 때 는 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.2.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 를 로 바꿉니다.
단계 5.1.2.2
=일 때 은 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.2.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 5.1.3
미분합니다.
단계 5.1.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.1.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.3.3
식을 간단히 합니다.
단계 5.1.3.3.1
에 을 곱합니다.
단계 5.1.3.3.2
의 왼쪽으로 이동하기
단계 5.1.3.3.3
을 로 바꿔 씁니다.
단계 5.1.3.4
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.3.5
에 을 곱합니다.
단계 5.1.4
간단히 합니다.
단계 5.1.4.1
항을 다시 정렬합니다.
단계 5.1.4.2
에서 인수를 다시 정렬합니다.
단계 5.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 6
단계 6.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 6.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.2
을 곱합니다.
단계 6.2.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.3
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 6.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 6.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 6.4.2
을 에 대해 풉니다.
단계 6.4.2.1
지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.
단계 6.4.2.2
이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.
정의되지 않음
단계 6.4.2.3
에 대한 해가 없습니다.
해 없음
해 없음
해 없음
단계 6.5
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 6.5.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 6.5.2
을 에 대해 풉니다.
단계 6.5.2.1
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 6.5.2.2
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 6.5.2.2.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 6.5.2.2.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 6.5.2.2.2.1
두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.
단계 6.5.2.2.2.2
을 로 나눕니다.
단계 6.5.2.2.3
우변을 간단히 합니다.
단계 6.5.2.2.3.1
을 로 나눕니다.
단계 6.6
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 7
단계 7.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 8
계산할 임계점.
단계 9
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 10
단계 10.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 10.1.1
에 을 곱합니다.
단계 10.1.2
에 을 곱합니다.
단계 10.1.3
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 10.1.4
에 을 곱합니다.
단계 10.1.5
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 10.1.6
와 을 묶습니다.
단계 10.1.7
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 10.2
분수를 통분합니다.
단계 10.2.1
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 10.2.2
식을 간단히 합니다.
단계 10.2.2.1
에서 을 뺍니다.
단계 10.2.2.2
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 11
이계도함수가 음수이므로 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극대값입니다
단계 12
단계 12.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 12.2
결과를 간단히 합니다.
단계 12.2.1
에 을 곱합니다.
단계 12.2.2
에 을 곱합니다.
단계 12.2.3
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 12.2.4
최종 답은 입니다.
단계 13
에 대한 극값입니다.
은 극댓값임
단계 14