미적분 예제

$f (x) = x + \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$1 - \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

단계 2.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

단계 2.3

$0$ 에서 $\cos (x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 - \sin (x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \sin (x) = - 1$

단계 5

$- \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- \sin (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.2.2

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\sin (x) = 1$

단계 6

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (1)$

단계 7

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\arcsin (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 8

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - \frac{π}{2}$

단계 9

$π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.2

분수를 통분합니다.

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단계 9.2.1

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 9.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

단계 9.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

단계 9.3.2

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 10

방정식 $x = \frac{π}{2}$ 의 해.

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

단계 11

$x = \frac{π}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \cos (\frac{π}{2})$

단계 12

이차 미분값을 구합니다.

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단계 12.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 0$

단계 12.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 13

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 13.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

단계 13.2

1차 도함수 $1 - \sin (x)$ 의 $(- \infty, \frac{π}{2})$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 13.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

단계 13.2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 13.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.2.2.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$f' (0) = 1 - 0$

단계 13.2.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 1 + 0$

단계 13.2.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (0) = 1$

단계 13.2.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 13.3

1차 도함수 $1 - \sin (x)$ 의 $(\frac{π}{2}, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 13.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

단계 13.3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 13.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.2.1.1

$\sin (4)$ 의 값을 구합니다.

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

단계 13.3.2.1.2

$- 1$ 에 $- 0.75680249$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

단계 13.3.2.2

$1$ 를 $0.75680249$ 에 더합니다.

$f' (4) = 1.75680249$

단계 13.3.2.3

최종 답은 $1.75680249$ 입니다.

$1.75680249$

단계 13.4

1차 도함수의 부호가 $x = \frac{π}{2}$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 13.5

$f (x) = x + \cos (x)$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 14