미적분 예제

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 e^{x}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \ln (x^{3})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ 입니다.

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

단계 3.4

$3$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

단계 3.5

$\frac{3}{x^{3}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

단계 3.6

$x^{2}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

단계 3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

단계 3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

단계 3.7

$4$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 묶습니다.

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

단계 3.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$