미적분 예제

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

단계 1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

단계 1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 에 더합니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

단계 1.2.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

단계 1.2.6

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

단계 1.3.2

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{1 - 2 x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{1 - 2 x^{2}})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.6

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8.2

$e^{1 - 2 x^{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \cdot 1)$

단계 2.10

$e^{1 - 2 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}})$

단계 2.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}})) - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 2.11.2

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 2.11.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 2.11.4

$16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 4.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 4.1.1.3

$u$ 를 모두 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

단계 4.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

단계 4.1.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 에 더합니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

단계 4.1.2.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.1.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

단계 4.1.2.6

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

단계 4.1.3.2

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ 입니다.

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

단계 5.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

단계 5.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.4

$e^{1 - 2 x^{2}}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$e^{1 - 2 x^{2}}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

단계 5.4.2

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{1 - 2 x^{2}}) = \ln (0)$

단계 5.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.4.2.3

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.5

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$16 {(0)}^{2} e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$16 \cdot 0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.2

$16$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{1 - 2 \cdot 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.3.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 e^{1 + 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 e^{1} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.5

간단히 합니다.

$0 e - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.6

$0$ 에 $e$ 을 곱합니다.

$0 - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 9.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.7.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 4 e^{1 - 2 \cdot 0}$

단계 9.1.7.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 4 e^{1 + 0}$

단계 9.1.8

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - 4 e^{1}$

단계 9.1.9

간단히 합니다.

$0 - 4 e$

단계 9.2

$0$ 에서 $4 e$ 을 뺍니다.

$- 4 e$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = e^{1 - 2 \cdot 0}$

단계 11.2.1.2

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = e^{1 + 0}$

단계 11.2.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = e$

단계 11.2.3

최종 답은 $e$ 입니다.

$y = e$

단계 12

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, e)$ 은 극댓값임

단계 13