미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 8

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 8.2

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 8.3

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 8.3.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

단계 11

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

단계 12

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 12.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 12.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 12.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 12.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 12.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

간단히 합니다.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 14.2

식을 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 14.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$